CHAOS 3 - Jabłko Newtona
W wieku lat 17
Newton zastanawiał się, dlaczego
jabłko spada z drzewa
a Księżyc nie spada na Ziemię.
Dotychczas ludzie myśleli,
że obiekty na Ziemi, takie jak jabłka,
nie podlegają tym samym prawom, co ciała niebieskie.
Porównywanie ruchu Księżyca i jabłka
I myślenie, że mogą być jedne prawa fizyki
obowiązujące i na Ziemi, i w niebie
było rewolucją.
Przed Newtonem fizyka była zdominowana
przez poglądy Arystotelesa.
Jego zdaniem, każda rzecz ma swoje miejsce
i jeśli zabierzemy ją z tego miejsca,
postara się ona wrócić.
Że wszystko wokół nas
szuka swojej naturalnej równowagi.
Jabłka chcą przesuwać się w dół,
bo taka jest ich natura.
Księżyc krąży wokół Ziemi,
bo taka jest jego natura.
Zrozumienie, jak spadają rzeczy,
nie jest proste.
Swoją drogą, bohaterowie filmów rysunkowych
miewają problemy z fizyką.
Pierwsze prawo kreskówkowej fizyki brzmi:
Każde ciało umieszczone w przestrzeni
spoczywa nieruchomo, dopóki
nie zorientuje się, co się dzieje.
W filmach rysunkowych prawa fizyki obowiązują,
chyba że bez nich będzie śmieszniej.
Newton wymyślił uniwersalne prawo grawitacji:
"Dwa ciała przyciągają się z siłą
proporcjonalną do ich mas
i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu
odległości między nimi".
Skąd bierze się ta siła przyciągania?
Jak można ją wyjaśnić?
Jak to się dzieje, że dwa przedmioty
odległe o miliardy kilometrów
natychmiast się przyciągają?
Tę tajemnicę częściowo wyjaśnił,
wiele lat później, Albert Einstein.
Wszystko: i jabłko, i Księżyc
jest przyciągane przez Ziemię.
Siła grawitacji działa na wszystko.
Inne wielkie odkrycie Newtona mówi,
że siły zmieniają prędkości.
Kiedy prędkość się zwiększa,
mówimy, że ciało przyspiesza.
Wyobraźmy sobie abstrakcyjne jabłko,
na które działa tylko siła grawitacji.
Blisko jabłoni grawitacja jest w przybliżeniu stała.
Kiedy jabłko zrywa się z gałęzi,
jego prędkość jest równa zeru.
Ale siła grawitacji zmienia prędkość jabłka.
Jabłko spada coraz szybciej
i uderza w ziemię.
Newton wyjaśnił też, jak na podstawie sił
możemy określić tor ruchu ciała.
Po płaszczyźnie toczy się kula.
Co się z nią stanie?
Nic!
Nadal będzie się toczyć ze stałą prędkością.
To znane z podręczników do fizyki twierdzenie
jest oczywiście prawdziwe
ale nie pasuje ono do tego,
co znamy z codziennego życia.
Kula w końcu się zatrzyma,
ponieważ jej ruch spowalniają siły tarcia.
Ale pomińmy te siły!
Kiedy kula styka się z ziemią i na nią naciska,
ziemia odpowiada siłą skierowaną w przeciwną stronę.
Suma sił działających na kulę jest więc równa zeru,
dzięki czemu kula nie przebija ziemi i nie spada w dół.
Jeśli nie ma sił, prędkość się nie zmienia,
tylko, jak już widzieliśmy, pozostaje stała.
Ale kiedy ziemia ustąpi,
kula, przyciągana przez Ziemię,
zmienia swoją prędkość,
bo nie ma już ziemi,
której nacisk przeciwstawiałby się sile ciążenia.
Newton wyraził to wszystko
w jednym z najważniejszych wzorów fizycznych:
F = m * a
F to siła
m to masa ciała
zaś a to przyspieszenie.
Przyspieszenie to tempo, w jakim zmienia się prędkość.
Innymi słowy, przyspieszenie to pochodna prędkości.
W naszej sytuacji siła grawitacji jest stała,
skierowana w dół,
więc przyspieszenie jest stałe i skierowane w dół.
W każdej sekundzie wektor prędkości
wzrasta o stałą wartość.
Spójrz na trajektorię: jest parabolą.
Jeśli znamy siły działające na ciało,
znamy przyspieszenie.
Jeśli znamy też początkowe położenie i początkową prędkość,
możemy przewidzieć przyszły ruch.
Jeśli celujesz precyzyjnie
i jeśli dobierasz odpowiednie warunki początkowe,
możesz uzyskać niezwykły ruch.
Warunki początkowe to nie tylko początkowe położenie,
ale też początkowa prędkość.
Patrz.
Trzy planety bez Słońca
poruszają się po trzech zamkniętych trajektoriach.
Ich ruch jest okresowy.
A teraz coś ciekawszego:
te trzy planety lecą po jednej, wspólnej trajektorii!
A te trzy planety też lecą po wspólnej trajektorii.
Tym razem w kształcie ósemki.
Taka planetarna choreografia jest nie lada wyczynem.
Aby uzyskać taki efekt, musimy dokładnie celować,
jak w bilardzie.
Jeśli zmienimy choć trochę warunki początkowe,
babam!
Piękna choreografia zmienia się w chaos.
A dlaczego Księżyc nie spada na Ziemię,
skoro Ziemia przyciąga go
tak samo jak przyciąga jabłko?
Odpowiedź Newtona jest niezwykła:
Księżyc spada!
Grawitacja w otoczeniu Ziemi nie jest stała.
Jest skierowana w stronę środka Ziemi
a im bardziej oddalimy się od Ziemi,
tym grawitacja jest słabsza.
Ziemia przyciąga Księżyc w swoją stronę,
więc Księżyc przesuwa się w stronę Ziemi.
W połączeniu z ruchem obrotowym daje to ciekawy efekt:
Księżyc ciągle spada, ale nigdy nie trafia w Ziemię.
Gdyby na Księżyc nie działały żadne siły,
poruszałby się po linii prostej,
jakby nie zauważał Ziemi.
Rozważmy fikcyjny Księżyc
umieszczony 384 000 km nad powierzchnią Ziemi.
Upuśćmy go.
Spada!
Druga próba:
upuszczamy taki sam Księżyc,
tym razem z niewielką prędkością poziomą.
Trajektoria jest lekko odchylona od pionu,
ale nie uniknęliśmy katastrofy.
Jeśli początkowa prędkość pozioma Księżyca będzie trochę większa,
Księżyc minie lekko Ziemię i zacznie krążyć wokół niej.
Jeszcze trochę większa prędkość i Księżyc krąży po orbicie kołowej.
Mniej więcej tak, jak dzieje się to w rzeczywistości.
Prędkość początkowa zbyt duża
i żegnaj Księżycu!
Układ słoneczny ma osiem głównych planet
i tysiące drobniejszych obiektów
oddziałujących na siebie.
Kiedy badamy taki system,
opis warunków początkowych
zawiera wiele położeń i prędkości.
A wyobraź sobie ile danych trzeba by,
żeby opisać ruch atmosfery
składającej się z niezliczonej liczby cząstek!
Badanie trajektorii w polu wektorowym
które zależy od wielkiej liczby zmiennych
jest trudnym wyzwaniem rzuconym przez wielkiego Newtona