2 - Wyścigi ludzików Lego
26 października 1676
Izaak Newton napisał list
do swojego wielkiego rywala - Leibniza.
Chciał powiedzieć mu o swoim wielkim odkryciu,
ale chciał też zachować je w tajemnicy.
Wysłał mu więc zagadkę:
"6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x".
Leibnizowi nie udało się odszyfrować tego anagramu,
ale historycy nauki odczytali ukryte zdanie:
"Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa."
Po polsku to znaczy:
"Znając równanie dowolnego stopnia
policzyć jego pochodną - i odwrotnie".
To rachunek różniczkowy.
Szklana kula, dzięki której możemy przewidywać przyszłość.
Pozwala on wyliczyć, jak w przyszłości
będzie poruszać się układ ciał,
jeśli znamy ich aktualne położenia
i siły działające między nimi.
Wystarczy rozwiązać równanie różniczkowe.
Przyjrzyjmy się temu na przykładzie ludzików Lego.
Świat matematyki jest jak zabawa,
w której wszystko jest prostsze
niż w prawdziwym życiu.
Ślady stóp znaczą trasę,
którą idą sportowcy.
Czyli trajektorię ich ruchu.
Niech ludziki kroczą w stałym tempie.
Niech jedne robią kroki długie, a inne - krótkie.
Kiedy ludek porusza się szybko,
ślady jego stóp są daleko od siebie.
Kiedy idzie wolno, ślady są blisko.
Strzałka łącząca dwa kolejne kroki
przedstawia prędkość,
czyli różnicę między położeniami w kolejnych momentach.
Stąd pochodzi nazwa: "rachunek różniczkowy".
A teraz wyścig na sto metrów.
Kto wygra?
9,58 sekundy - świetnie!
Ale ruch zwykle nie składa się z osobnych kroków.
Spójrz na te wyścigówki:
Nie kroczą, tylko jadą płynnie.
Czym teraz jest prędkość?
Zauważmy, że film, który teraz oglądasz
składa się z klatek
wyświetlanych w tempie 25 na sekundę.
Możemy więc przyjąć, że te wyścigówki
robią 25 kroków na sekundę.
Możemy mówić o ich prędkości
tak samo jak o prędkości ludzików Lego.
Newton traktował każdy płynny ruch
jako sekwencję kroków.
Ale kroków tak małych, że stają się niewidoczne - jak w filmie.
Obliczanie prędkości ruchu
nazywa się obliczaniem pochodnej.
Zajmuje się tym rachunek różniczkowy.
Oto ruch.
Strzałki reprezentują prędkość.
Matematycy nazywają te strzałki wektorami.
A teraz rozważmy przeciwny problem.
Te strzałki na ziemi nazywamy polem wektorowym.
Wyobraźmy sobie pole, na którym zamiast źdźbeł zboża rosną wektory.
Ludziki Lego mają zadanie:
poruszać się z prędkością wyznaczoną przez strzałki.
To proste.
Ludziki patrzą pod nogi i widzą strzałkę,
która mówi, jak mają się poruszać,
więc ruszają w zadanym kierunku z zadaną prędkością.
Chwilę później są w nowym punkcie,
gdzie czeka na nie kolejna strzałka,
więc ruszają w nowym kierunku.
I znowu, i znowu, i znowu.
Taki spacer jest prosty.
Po prostu wykonujesz krok za krokiem.
Musimy jeszcze wyjaśnić,
co mamy na myśli, kiedy mówimy
"chwilę później".
Newton powiedziałby:
"Po nieskonczenie krótkim czasie".
Widzieliśmy już, że ciągły ruch
nie jest tym samym, co ruch krok po kroku,
ale staje się podobny do niego,
w miarę jak kroki są coraz mniejsze i mniejsze.
Zamiast kroczącego ludzika lego
przyjrzyjmy się samochodzikowi
poruszającemu się ruchem ciągłym.
Porusza się on po linii,
którą nazywamy trajektorią.
To linia w każdym punkcie prostopadła do pola wektorowego.
Widzimy pole wektorowe na płaszczyźnie.
Na nim są dwa punkty,
z których startują dwa motocykle.
Twierdzenie Picarda podsumowuje koncepcję determinizmu:
Mówi, że te punkty jednoznacznie wyznaczają
przyszłe trajektorie motocykli.
Dla każdego punktu jest tylko jedna trajektoria,
która z niego startuje.
Każdy punkt ma swoje własne przeznaczenie,
inne dla każdego punktu.
Oto ludzik lego stojący przed swoim przeznaczeniem.
Nie ma wyboru - musi iść po swojej trajektorii.
Dwie trajektorie nigdy się nie przetną.
Wyznaczaniem trajektorii
na podstawie pola wektorowego
zajmuje się rachunek całkowy -
- odwrotność rachunku różniczkowego.
A to ludziki lego
ustawione równo jak żołnierze
gotowi do marszu.
Ruszają.
Ich równe szeregi rozsypują się.
Wygląda to, jakby płynęły rzeką, 119,
każdy niesiony swoim prądem
który wyznacza kierunek jego ruchu.
Pomyśl: tak wygląda nasze życie.
Siedem miliardów ludzików lego pływających po Ziemi
I pomyśl o ruchu miliardów miliardów miliardów
cząsteczek powietrza w atmosferze.
Prosty, naiwny przykład,
który właśnie oglądamy,
pokaże nam słabość determinizmu.
Przyjrzyjmy się temu polu wektorowemu.
Kiedy ludziki idą naprzód,
te, które są na lewo od linii środkowej,
skręcają w lewo,
a te z prawej strony - w prawo.
Z jednej strony jest to deterministyczne:
każdy ludek podąża za swoim przeznaczeniem
i nie ma władzy nad swoim ruchem.
Z drugiej strony dwa sąsiednie ludki
może czekać bardzo różny los.
Drobny szczegół może całkowicie zmienić przyszłość.
W książce "Materia i ruch"
opublikowanej w roku 1876
fizyk Jamex Clark Maxwell
podkreśla wrażliwość procesów fizycznych
na zmiany warunków początkowych.
Oto co pisze:
„Mówi się, że ta sama przyczyna
zawsze wywołuje ten sam skutek.
Ale nie mylmy tego z innym zdaniem:
«Podobna przyczyna powoduje podobny skutek».
To drugie zdanie jest prawdziwe tylko wtedy,
kiedy niewielkie zmiany warunków początkowych
powodują tylko niewielkie zmiany sytuacji końcowej.
Dla wielu zjawisk fizycznych ten warunek jest spełniony.
Ale są zjawiska, dla których drobna zmiana stanu początkowego
powoduje wielką zmianę końcowego stanu systemu”.
Przykładowo: mała zmiana prędkości samochodu
może spowodować wypadek.
Ta wrażliwość stanu końcowego
na zmiany stanu początkowego
jest cechą chaosu.
Są też sytuacje bardziej skomplikowane.
Wyobraźmy sobie pole wektorowe
rysowane nie na ziemi,
a w przestrzeni.
Na przykład to pole,
którego przekroje właśnie widzimy.
Tym razem ludziki nie chodzą, tylko latają.
W każdej chwili ich prędkość
wyznaczona jest przez pole wektorowe.
Patrzcie, jak chaotyczny jest ich ruch!
Wyobraźmy sobie ludzika lego - wróżbiarza,
który miałby przewidywać ruch tych pojazdów.
To niemożliwe!
Kto wie, gdzie znajdą się za godzinę?
Skoro tak trudno przewidzieć ruch ludzików lego,
pomyśl, jak trudno przewidzieć los człowieka!