Wymyśliłem kilkuczęściowe zadanie matematyczne, na poziom późnej podstawówki, a może wczesnej szkoły średniej. Zadanie podoba mi się, bo wymaga jedynie znajomości dodawania i mnożenia, a wcale nie jest takie łatwe.
Wstęp: w tym zadaniu będziemy rysować różne odcinki. Zwykle w geometrii odcinki oznaczamy etykietami (nazwami) takimi jak "a", "b", "c"... W tym zadaniu etykiety będą liczbami: "1", "2", "3"... Znaczy, zamiast oznaczać odcinki literami, będziemy je numerować.
Część zerowa (wstępna).
Polecenie: narysuj trzy dowolne odcinki, oznaczone etykietami "1", "2", "5".
Komentarz: w tej części chodzi o to, żeby upewnić się, że ofiara rozumie, że etykieta odcinka to nie jest to samo co jego długość (że to nie muszą być odcinki o długościach 1, 2, 5).
Część pierwsza:
narysuj takie odcinki, oznaczone etykietami "1", "2", "4", żeby:
- złożenie odcinków "2" i "2" dawało odcinek "4" (znaczy, żeby (długość odcinka "2") + (długość odcinka "2") = (długość odcinka "4"))
- złożenie odcinków "1" i "2" dawało odcinek "2"
- złożenie odcinków "1" i "1" dawało odcinek "1"
To znaczy, żeby dodawanie długości działało jak mnożenie etykiet.
Komentarz: Kto jest bardziej zaawansowany matematycznie, ten ma tendencję, żeby na tym etapie kombinować z logarytmami. Da się, ale da się i bez myślenia o logarytmach, tylko chwilę pokombinować. I na przykład dostać takie rozwiązanie:
- odcinek "1" ma długość 0
- odcinek "2" ma długość 2
- odcinek "4" ma długość 4
Tak, jest to po prostu funkcja "f(x) = 2 * log(2)(x)", ale wcale nie trzeba tu myśleć o logarytmach.
Część druga:
narysuj takie odcinki, oznaczone etykietami "1", "2", "3", "4", "6", żeby:
- złożenie odcinków "1" i "1" dawało odcinek "1"
- złożenie odcinków "1" i "2" dawało odcinek "2"
- złożenie odcinków "1" i "3" dawało odcinek "3"
- złożenie odcinków "2" i "2" dawało odcinek "4"
- złożenie odcinków "2" i "3" dawało odcinek "6"
A więc znowu: dodawanie długości ma być mnożeniem etykiet, tylko mamy więcej etykiet, więcej odcinków.
Komentarz: ktoś zaawansowany matematycznie, kto podchodzi do tego zadania myśląc o logarytmach, dostanie tu wyniki niewymierne - i może nawet nie zauważy, że istnieje tu rozwiązanie z długościami naturalnymi. Kto jest na poziomie późnej szkoły podstawowej lub wczesnej średniej, może na przykład znaleźć takie rozwiązanie:
- odcinek "1" ma długość 0
- odcinek "2" ma długość 2
- odcinek "3" ma długość 3
- odcinek "4" ma długość 4
- odcinek "6" ma długość 5
Część trzecia:
a teraz odwrotnie: ja ci podam długości odcinków, a ty musisz dobrać etykiety tak, żeby dodawanie długości dawało mnożenie etykiet. A długości odcinków to: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Komentarz: no, tym razem ktoś zaawansowany, kto zna logarytmy, będzie miał łatwiutko (1, 10, 100, 1000, 10000, 100000) - a prosty człowiek musi się więcej nakombinować, niż to odkryje.
Lubię to zadanie, bo to jest dobra gimnastyka na myślenie: trzeba nie pogubić się, co jest etykietą a co długością (oba są liczbami), co dodajemy, co mnożymy.