aksjomaty Peano, ale "n+1" zamiast "S(n)"

2026.05.01 16:10
aksjomaty Peano, ale "n+1" zamiast "S(n)"

Zapisywałem wczoraj aksjomaty Peano i przyszło mi do głowy, że co ja będę pajacował z mówieniem "następnik n" czy "S(n)" - przecież prościej jest napisać "n + 1". I wyszło mi takie coś, co przedstawiam poniżej. Sam nie wiem, co o tym myśleć. Z jednej strony to nie jest tylko zmiana kosmetyczna - przecież teraz tego samego zapisu używam do dodawania jak i do oznaczania relacji bycia następnikiem. Ale z drugiej strony chyba nic złego się nie stało?

Aksjomat 1.

0 \in ℕ

Zero jest liczbą.

Aksjomat 2.

\underset{n \in ℕ}{\forall} (n + 1) \in ℕ

Jeśli $n$ jest liczbą, to jej następnik, czyli $(n + 1)$ , też jest liczbą.

Aksjomat 3.

\underset{n \in ℕ}{\forall} (n + 1) \neq 0

Nie ma takiej liczby $n$ , że jej następnik, czyli $n + 1$ , jest zero.

Aksjomat 4.

\underset{m, n \in ℕ}{\forall} ((m + 1) = (n + 1) \Rightarrow m = n)

Jeśli $(m + 1) = (n + 1)$ , to $m = n$ . Znaczy, jeśli następniki dwu liczb są równe, to te liczby też są równe.

Aksjomat 5.

\underset{P}{\forall} (P (0) \land \underset{n \in ℕ}{\forall} (P (n) \Rightarrow P (n + 1)) ⟹ \underset{n \in ℕ}{\forall} P (n))

Jeżeli chcesz udowodnić, że jakieś twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby, to:

udowodnij, że jest prawdziwe dla $0$ ;
udowodnij, że:
- jeśli jest prawdziwe dla pewnego $n$ …
- …to jest też prawdziwe dla $n + 1$ .

Definicja dodawania

Definicja 1.

\underset{n \in ℕ}{\forall} n + 0 = n

Dodanie zera do dowolnej liczby nie zmienia tej liczby.

Definicja 2.

\underset{m, n \in ℕ}{\forall} m + (n + 1) = (m + n) + 1

czy do liczby $m$ dodasz następnik liczby $n$
najpierw policzysz $m + n$ i dopiero do tego dodasz 1

to wyjdzie to samo.

Skrócone zapisy

Żeby krócej było zapisywać liczby, mamy skrócone zapisy:

Zamiast pisać…	piszemy…
$(0 + 1)$	1
$(0 + 1) + 1$	2
$((0 + 1) + 1) + 1$	3
$(((0 + 1) + 1) + 1) + 1$	4
$((((0 + 1) + 1) + 1) + 1) + 1$	5
$(((((0 + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1$	6
$((((((0 + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1$	7
$(((((((0 + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1$	8
$((((((((0 + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1$	9
$(((((((((0 + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1$	10

Zadania

Twierdzenie 1. Udowodnij, że $0 + 0 = 0$ .

Twierdzenie 2. Udowodnij, że $0 + (0 + 1) = 1$ .

Twierdzenie 3. Udowodnij, że $0 + 1 = 1$ .

Twierdzenie 4. Udowodnij, że $1 + 1 = 2$ .

Twierdzenie 5. Udowodnij, że $1 + 2 = 3$ .

Twierdzenie 6. Udowodnij, że $2 + 1 = 3$ .

Twierdzenie 7. Udowodnij, że $2 + 2 = 4$ .

Twierdzenie 8. Udowodnij, że $0 + 2 = 2$ .

Twierdzenie 9. Udowodnij, że $0 + 3 = 3$ .

Twierdzenie 10. Udowodnij, że $0 + 4 = 4$ .

Twierdzenie 11. Udowodnij, że $0 + 5 = 5$ .

Twierdzenie 12. Udowodnij, że jeśli $0 + n = n$ , to $0 + (n + 1) = n + 1$ .

Twierdzenie 13. Udowodnij, że jeśli $1 + n = n + 1$ , to $1 + (n + 1) = (n + 1) + 1$ .

Twierdzenie 14. Udowodnij, że jeśli $2 + n = n + 2$ , to $2 + (n + 1) = (n + 1) + 2$ .

Twierdzenie 15. Udowodnij, że jeśli $m + n = n + m$ , to $m + (n + 1) = (n + 1) + m$ .

Twierdzenie 16. Udowodnij, że jeśli $(m + k) + n = m + (k + n)$ , to $(m + k) + (n + 1) = m + (k + (n + 1))$ .

Twierdzenie 17. Udowodnij, że jeśli $m + n = k$ , to $m + (n + 1) = k + 1$ .

Twierdzenie 18. Udowodnij, że jeśli $(m + n) + 1 = m + (n + 1)$ , to $(m + (n + 1)) + 1 = m + ((n + 1) + 1)$ .

Twierdzenie 19. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej $n$ jest prawdą, że: $0 + n = n$ .

komentarze:
2026.05.06 07:29 M

Wczoraj po południu nastawiłem ryż i zajrzałem na Twój blog. Postanowiłem rozwiązać wszystkie zadania z aksjomatów Peano w czasie, gdy ryż będzie się gotował. Zauważyłem, że:
+ dowody twierdzeń korzystają tylko z def. 1 i 2, skróconych zapisów i aksjomatu indukcji matematycznej; wydaje mi się, że żaden dowód nie korzysta z aksjomatów 1–4
+ nie umiem udowodnić twierdzenia 15
+ nie wychodzi mi dowód twierdzenia 18, przy czym jego założenie jest zbędne, bo to def. 2
+ dowody zajęły mi prawie godzinę
+ na szczęście ryż się nie rozgotował, bo był brązowy :-)
Dziękuję Ci za dobrą rozgrzewkę. Proszę Cię, wymyśl zadania z innych aksjomatów. Przepraszam, jeśli to dla Ciebie kłopot :-) Pozdrawiam :-)

2026.05.07 15:56 M

Cześć :-) Nie męcz się :-) Wymyśliłem takie twierdzenia, które udowodniłem na podstawie aksjomatów 4, 2 i 5:
Twierdzenie 20. Implikacja "jeśli m + 2 = n + 2, to m = n" jest prawdziwa dla każdej pary liczb naturalnych m i n.
Twierdzenie 21. Implikacja "jeśli m + k = n + k, to m = n" jest prawdziwa dla każdej trójki liczb naturalnych m, n i k.
Pozdrawiam :-)

2026.05.10 13:58 P.

Twierdzenie 18 jest dziwne, ale udowodnić się je da. Jest dziwne, bo ma postać "jeśli A, to B", przy czym A to jeden z aksjomatów ("definicja 2" z definicji dodawania), a B to też ten sam aksjomat (tylko dla m=m+1 i n=n+1).

powrót na stronę główną

RSS