Właśnie zorientowałem się, że od wielu lat mówiłem ludziom nieprawdę. Zawsze kiedy tłumaczyłem, dlaczego przy rozwiązywaniu równania (na przykład x / 2 = 7) wolno mi obie strony pomnożyć przez 2, mówiłem (błędnie): "no bo kiedy mam wagę szalkową, która jest w równowadze, i podwoję zawartość zarówno lewej szalki jak i prawej, to waga nadal będzie w równowadze".
Nie jestem jedynym, który tak mówił. Właśnie poszukałem w Internecie, jak ludzie uzasadniają to mnożenie obu stron, i na https://www.zsnienowice.pl/dlaczego-przeksztalcenia-algebraiczne-dzialaja pisze:
Jeśli pomnożymy lub podzielimy obie strony przez tę samą wartość (inną niż zero), równanie pozostaje prawdziwe.
A na https://math.answers.com/math-and-arithmetic/What_allows_property_to_add_the_same_thing_to_both_sides pisze:
if you have an equation, you can add the same number to both sides without changing the equality. For example, if ( a = b ), then ( a + c = b + c ) for any number ( c )
A na https://sme.goiania.go.gov.br/conexaoescola/eaja/matematica-principios/ pisze:
Se dois números são iguais, então adicionar ou subtrair o mesmo valor de ambos os números resultará em dois novos números que ainda são iguais
Można rozważać, co autorzy tych cytatów mieli na myśli, ale mi się wydaje, że normalna interpretacja jest, że mówią dokładnie to co ja.
A jest to błędne rozumowanie. Bo myśląc w ten sposób można by powiedzieć "kiedy mam wagę szalkową, która jest w równowadze, i zaokrąglę w dół zawartość zarówno lewej szalki jak i prawej, to waga nadal będzie w równowadze" - i uzasadniać tym zasadę (błędną), że przy rozwiązywaniu równania wolno po obu stronach zrobić "floor". Poprawne uzasadnienie mnożenia obu stron równania przez dwa brzmi: "no bo kiedy mam wagę szalkową, która jest w równowadze, i *zmniejszę dwukrotnie* zawartość zarówno lewej szalki jak i prawej, to waga nadal będzie w równowadze".
Bo przecież chodzi o to, że robię coś takiego:
(1) x / 2 = 7 (2) f(x / 2) = f(7)
po czym znajduję rozwiązanie równania (2) i twierdzę, że jest to również rozwiązanie równania (1). Ale to jest prawdą nie jeśli funkcja f zachowuje prawdziwość, ale jeśli funkcja odwrotna do f zachowuje prawdziwość. I to dopiero tłumaczy, dlaczego wolno pomnożyć obie strony przez 2, ale nie wolno obu stron zaokrąglić w dół czy podnieść do kwadratu.
Tego problemu unikają sprytnie ci, którzy mówią tylko tyle, że jak pomnożymy obie strony przez to samo, to dostaniemy równanie *równoważne*.
Rozważmy taki dowód, że 1 + 1 = -1:
(1) 1 + 1 = x podnoszę obie strony do kwadratu: (2) (1 + 1)² = x² ze wzoru skróconego mnożenia: (3) 1² + 2*1*1 + 1² = x² (4) 1 + 2 + 1 = x² przegrupowuję: (5) 1 + 1 + 2 = x² ale "1 + 1" to jest x, więc: (6) x + 2 = x² (7) 0 = x² - x - 2 (8) x² - x - 2 = 0 rozwiązuję w wolframie alfa lub po szkolnemu przez deltę lub strzelając i dostaję: x = 2 lub x = -1
Nie jest dziwne, że dostałem zły wynik - bo na początku zrobiłem nielegalne działanie: podniosłem obie strony do kwadratu. Ale ciekawie jest, kiedy idąc od końca do początku sprawdzam, na których krokach -1 jest jeszcze poprawnym rozwiązaniem. Na kroku (8) jest, na (7) jest, na (6) jest - i dopiero na kroku (5) się wykłada. Dlaczego akurat na przejściu (5) → (6) coś złego się stało? Przecież akurat to przejście wydaje się legalne? Przecież naprawdę 1 + 1 = x, sami to założyliśmy? W pierwszej chwili kiedy T. mnie o to zapytał, nie umiałem odpowiedzieć, ale po pewnym zastanowieniu już wiem: gb qyngrtb, żr eójanavn 1 v 2 avr fą eójabjnżar, jvęp glz oneqmvrw 1 v 5 avr fą eójabjnżar, jvęp "k" j eójanavh 1 v "k" j eójanavh 5 gb fą eóżar vxfl, jvęp j xbagrxśpvr eójanavn (1) wrfg cenjqą, żr "1 + 1 = k", nyr j xbagrxśpvr eójanavn (5) whż avr wrfg gb cenjqmvjr.
W powyższym przykładzie, tym dowodzącym że 1 + 1 = -1, bardzo rzuca się w oczy to oszustwo z podnoszeniem do kwadratu między krokami (1) i (2). Myślałem, jak by to zrobić dyskretniej, i wymyśliłem taki trik:
(1) 1 + 1 = x mnożę obie strony przez "1 + 1": (2) (1 + 1)(1 + 1) = x(1 + 1) ze wzoru skróconego mnożenia: (3) 1² + 2*1*1 + 1² = x(1 + 1) (4) 1 + 2 + 1 = x(1 + 1) przegrupowuję: (5) 1 + 1 + 2 = x(1 + 1) ale "1 + 1" to jest x, więc: (6) x + 2 = x * x (7) 0 = x² - x - 2 (8) x² - x - 2 = 0 rozwiązuję w wolframie alfa lub po szkolnemu przez deltę lub strzelając i dostaję: x = 2 lub x = -1
No i teraz już jest daleko mniej oczywiste, gdzie oszukuję. Bo co, to już przez dwa nie wolno obu stron pomnożyć (co robię w przejściu (1) → (2))? Póki co, nie znam odpowiedzi, która by mnie satysfakcjonowała.