1
00:00:00,000 --> 00:00:04,000
2 - Wyścigi ludzików Lego

2
00:00:07,750 --> 00:00:10,750
26 października 1676

3
00:00:11,834 --> 00:00:13,834
Izaak Newton napisał list

4
00:00:13,834 --> 00:00:16,834
do swojego wielkiego rywala - Leibniza.

5
00:00:18,750 --> 00:00:20,750
Chciał powiedzieć mu o swoim wielkim odkryciu,

6
00:00:20,750 --> 00:00:23,709
ale chciał też zachować je w tajemnicy.

7
00:00:24,542 --> 00:00:29,000
Wysłał mu więc zagadkę:

8
00:00:29,000 --> 00:00:48,000
"6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x".

9
00:00:48,000 --> 00:00:52,000
Leibnizowi nie udało się odszyfrować tego anagramu,

10
00:00:52,000 --> 00:00:58,583
ale historycy nauki odczytali ukryte zdanie:

12
00:00:59,667 --> 00:01:02,667
"Data aequatione quotcunque

13
00:01:02,667 --> 00:01:05,667
fluentes quantitates involvente,

14
00:01:05,667 --> 00:01:08,667
fluxiones invenire et vice versa."

15
00:01:10,417 --> 00:01:11,417
Po polsku to znaczy:

16
00:01:11,959 --> 00:01:15,500
"Znając równanie dowolnego stopnia

17
00:01:15,500 --> 00:01:20,000
policzyć jego pochodną - i odwrotnie".

19
00:01:21,000 --> 00:01:24,000
To rachunek różniczkowy.

20
00:01:24,000 --> 00:01:29,000
Szklana kula, dzięki której możemy przewidywać przyszłość.

22
00:01:29,000 --> 00:01:32,000
Pozwala on wyliczyć, jak w przyszłości

23
00:01:32,000 --> 00:01:34,000
będzie poruszać się układ ciał,

24
00:01:34,000 --> 00:01:36,959
jeśli znamy ich aktualne położenia

25
00:01:36,959 --> 00:01:38,959
i siły działające między nimi.

26
00:01:40,166 --> 00:01:45,166
Wystarczy rozwiązać równanie różniczkowe.

27
00:01:48,834 --> 00:01:51,834
Przyjrzyjmy się temu na przykładzie ludzików Lego.

28
00:01:51,917 --> 00:01:53,917
Świat matematyki jest jak zabawa,

29
00:01:53,917 --> 00:01:56,375
w której wszystko jest prostsze

30
00:01:56,375 --> 00:02:00,375
niż w prawdziwym życiu.

31
00:02:06,375 --> 00:02:07,875
Ślady stóp znaczą trasę,

32
00:02:07,875 --> 00:02:10,834
którą idą sportowcy.

33
00:02:10,834 --> 00:02:12,834
Czyli trajektorię ich ruchu.

34
00:02:16,000 --> 00:02:21,000
Niech ludziki kroczą w stałym tempie.

35
00:02:21,083 --> 00:02:25,083
Niech jedne robią kroki długie, a inne - krótkie.

36
00:02:25,709 --> 00:02:27,709
Kiedy ludek porusza się szybko,

37
00:02:27,709 --> 00:02:29,709
ślady jego stóp są daleko od siebie.

38
00:02:29,709 --> 00:02:32,166
Kiedy idzie wolno, ślady są blisko.

39
00:02:36,417 --> 00:02:39,417
Strzałka łącząca dwa kolejne kroki

40
00:02:39,417 --> 00:02:41,417
przedstawia prędkość,

41
00:02:42,875 --> 00:02:49,000
czyli różnicę między położeniami w kolejnych momentach.

42
00:02:49,000 --> 00:02:55,000
Stąd pochodzi nazwa: "rachunek różniczkowy".

43
00:03:00,250 --> 00:03:02,250
A teraz wyścig na sto metrów.

44
00:03:02,250 --> 00:03:04,250
Kto wygra?

45
00:03:12,125 --> 00:03:15,000
9,58 sekundy - świetnie!

46
00:03:16,792 --> 00:03:21,000
Ale ruch zwykle nie składa się z osobnych kroków.

47
00:03:21,792 --> 00:03:24,250
Spójrz na te wyścigówki:

48
00:03:24,250 --> 00:03:26,750
Nie kroczą, tylko jadą płynnie.

49
00:03:27,583 --> 00:03:31,000
Czym teraz jest prędkość?

50
00:03:31,291 --> 00:03:33,291
Zauważmy, że film, który teraz oglądasz

51
00:03:33,291 --> 00:03:34,792
składa się z klatek

52
00:03:34,792 --> 00:03:36,250
wyświetlanych w tempie 25 na sekundę.

53
00:03:36,250 --> 00:03:38,250
Możemy więc przyjąć, że te wyścigówki

54
00:03:38,250 --> 00:03:41,250
robią 25 kroków na sekundę.

55
00:03:42,709 --> 00:03:44,709
Możemy mówić o ich prędkości

56
00:03:44,709 --> 00:03:46,709
tak samo jak o prędkości ludzików Lego.

57
00:03:50,709 --> 00:03:53,709
Newton traktował każdy płynny ruch

58
00:03:53,709 --> 00:03:57,709
jako sekwencję kroków.

59
00:03:57,709 --> 00:04:02,709
Ale kroków tak małych, że stają się niewidoczne - jak w filmie.

60
00:04:10,667 --> 00:04:13,125
Obliczanie prędkości ruchu

61
00:04:13,125 --> 00:04:16,125
nazywa się obliczaniem pochodnej.

62
00:04:16,125 --> 00:04:19,125
Zajmuje się tym rachunek różniczkowy.

63
00:04:26,500 --> 00:04:29,500
Oto ruch.

64
00:04:39,208 --> 00:04:42,208
Strzałki reprezentują prędkość.

65
00:04:42,875 --> 00:04:45,875
Matematycy nazywają te strzałki wektorami.

66
00:04:55,417 --> 00:04:59,417
A teraz rozważmy przeciwny problem.

67
00:05:00,166 --> 00:05:06,166
Te strzałki na ziemi nazywamy polem wektorowym.

68
00:05:06,917 --> 00:05:14,333
Wyobraźmy sobie pole, na którym zamiast źdźbeł zboża rosną wektory.

69
00:05:16,250 --> 00:05:18,250
Ludziki Lego mają zadanie:

70
00:05:18,250 --> 00:05:22,250
poruszać się z prędkością wyznaczoną przez strzałki.

71
00:05:26,625 --> 00:05:28,625
To proste.

72
00:05:28,709 --> 00:05:30,166
Ludziki patrzą pod nogi i widzą strzałkę,

73
00:05:30,166 --> 00:05:33,125
która mówi, jak mają się poruszać,

74
00:05:33,125 --> 00:05:36,083
więc ruszają w zadanym kierunku z zadaną prędkością.

75
00:05:38,834 --> 00:05:41,792
Chwilę później są w nowym punkcie,

76
00:05:41,792 --> 00:05:43,792
gdzie czeka na nie kolejna strzałka,

77
00:05:43,959 --> 00:05:45,959
więc ruszają w nowym kierunku.

78
00:05:45,959 --> 00:05:47,959
I znowu, i znowu, i znowu.

79
00:05:54,291 --> 00:05:56,291
Taki spacer jest prosty.

80
00:05:56,291 --> 00:05:59,792
Po prostu wykonujesz krok za krokiem.

81
00:06:01,458 --> 00:06:02,959
Musimy jeszcze wyjaśnić,

82
00:06:02,959 --> 00:06:04,959
co mamy na myśli, kiedy mówimy

83
00:06:04,959 --> 00:06:06,959
"chwilę później".

84
00:06:09,083 --> 00:06:11,583
Newton powiedziałby:

85
00:06:11,583 --> 00:06:14,041
"Po nieskonczenie krótkim czasie".

86
00:06:15,166 --> 00:06:17,166
Widzieliśmy już, że ciągły ruch

87
00:06:17,166 --> 00:06:21,166
nie jest tym samym, co ruch krok po kroku,

88
00:06:21,166 --> 00:06:23,166
ale staje się podobny do niego,

89
00:06:23,166 --> 00:06:25,667
w miarę jak kroki są coraz mniejsze i mniejsze.

90
00:06:26,709 --> 00:06:28,709
Zamiast kroczącego ludzika lego

91
00:06:28,709 --> 00:06:30,709
przyjrzyjmy się samochodzikowi

92
00:06:30,709 --> 00:06:32,709
poruszającemu się ruchem ciągłym.

93
00:06:33,250 --> 00:06:34,750
Porusza się on po linii,

94
00:06:34,750 --> 00:06:36,750
którą nazywamy trajektorią.

95
00:06:36,750 --> 00:06:40,750
To linia w każdym punkcie prostopadła do pola wektorowego.

96
00:06:50,375 --> 00:06:52,875
Widzimy pole wektorowe na płaszczyźnie.

97
00:06:52,875 --> 00:06:54,333
Na nim są dwa punkty,

98
00:06:54,333 --> 00:06:56,333
z których startują dwa motocykle.

99
00:07:02,083 --> 00:07:06,083
Twierdzenie Picarda podsumowuje koncepcję determinizmu:

100
00:07:06,083 --> 00:07:08,083
Mówi, że te punkty jednoznacznie wyznaczają

101
00:07:08,083 --> 00:07:10,083
przyszłe trajektorie motocykli.

102
00:07:11,750 --> 00:07:13,750
Dla każdego punktu jest tylko jedna trajektoria,

103
00:07:13,750 --> 00:07:19,208
która z niego startuje.

104
00:07:24,000 --> 00:07:26,000
Każdy punkt ma swoje własne przeznaczenie,

105
00:07:26,709 --> 00:07:28,709
inne dla każdego punktu.

106
00:07:30,999 --> 00:07:33,458
Oto ludzik lego stojący przed swoim przeznaczeniem.

107
00:07:34,458 --> 00:07:36,959
Nie ma wyboru - musi iść po swojej trajektorii.

108
00:07:36,959 --> 00:07:41,417
Dwie trajektorie nigdy się nie przetną.

109
00:07:42,125 --> 00:07:44,125
Wyznaczaniem trajektorii

110
00:07:44,125 --> 00:07:47,625
na podstawie pola wektorowego

111
00:07:47,625 --> 00:07:49,625
zajmuje się rachunek całkowy -

112
00:07:49,625 --> 00:07:53,625
- odwrotność rachunku różniczkowego.

113
00:08:13,375 --> 00:08:15,375
A to ludziki lego

114
00:08:15,375 --> 00:08:16,875
ustawione równo jak żołnierze

115
00:08:16,875 --> 00:08:18,875
gotowi do marszu.

116
00:08:28,291 --> 00:08:29,792
Ruszają.

117
00:08:30,709 --> 00:08:34,166
Ich równe szeregi rozsypują się.

118
00:08:34,750 --> 00:08:38,208
Wygląda to, jakby płynęły rzeką,

119,
00:08:38,750 --> 00:08:40,750
każdy niesiony swoim prądem

120
00:08:40,750 --> 00:08:45,750
który wyznacza kierunek jego ruchu.

121
00:08:47,083 --> 00:08:49,083
Pomyśl: tak wygląda nasze życie.

122
00:08:50,000 --> 00:08:53,000
Siedem miliardów ludzików lego pływających po Ziemi

123
00:08:53,000 --> 00:08:56,000
I pomyśl o ruchu miliardów miliardów miliardów

124
00:08:56,000 --> 00:08:59,000
cząsteczek powietrza w atmosferze.

125
00:09:10,583 --> 00:09:12,583
Prosty, naiwny przykład,

126
00:09:12,999 --> 00:09:14,999
który właśnie oglądamy,

127
00:09:15,125 --> 00:09:19,125
pokaże nam słabość determinizmu.

128
00:09:20,041 --> 00:09:22,041
Przyjrzyjmy się temu polu wektorowemu.

129
00:09:22,583 --> 00:09:24,583
Kiedy ludziki idą naprzód,

130
00:09:24,583 --> 00:09:26,583
te, które są na lewo od linii środkowej,

131
00:09:26,583 --> 00:09:28,583
skręcają w lewo,

132
00:09:28,583 --> 00:09:32,583
a te z prawej strony - w prawo.

133
00:09:33,999 --> 00:09:36,999
Z jednej strony jest to deterministyczne:

134
00:09:36,999 --> 00:09:38,999
każdy ludek podąża za swoim przeznaczeniem

135
00:09:38,999 --> 00:09:40,999
i nie ma władzy nad swoim ruchem.

136
00:09:41,166 --> 00:09:44,667
Z drugiej strony dwa sąsiednie ludki

137
00:09:44,667 --> 00:09:47,125
może czekać bardzo różny los.

138
00:09:47,125 --> 00:09:51,625
Drobny szczegół może całkowicie zmienić przyszłość.

139
00:09:59,250 --> 00:10:02,250
W książce "Materia i ruch"

140
00:10:02,250 --> 00:10:04,250
opublikowanej w roku 1876

141
00:10:05,208 --> 00:10:07,208
fizyk Jamex Clark Maxwell

142
00:10:07,208 --> 00:10:10,208
podkreśla wrażliwość procesów fizycznych 

143
00:10:10,208 --> 00:10:12,208
na zmiany warunków początkowych.

144
00:10:22,041 --> 00:10:24,041
Oto co pisze:

145
00:10:25,542 --> 00:10:27,542
„Mówi się, że ta sama przyczyna

146
00:10:27,542 --> 00:10:32,542
zawsze wywołuje ten sam skutek.

147
00:10:33,834 --> 00:10:37,834
Ale nie mylmy tego z innym zdaniem:

148
00:10:38,250 --> 00:10:40,250
«Podobna przyczyna powoduje podobny skutek».

149
00:10:40,250 --> 00:10:42,250
To drugie zdanie jest prawdziwe tylko wtedy,

150
00:10:42,250 --> 00:10:46,125
kiedy niewielkie zmiany warunków początkowych

151
00:10:46,125 --> 00:10:54,625
powodują tylko niewielkie zmiany sytuacji końcowej.

152
00:10:57,125 --> 00:11:02,125
Dla wielu zjawisk fizycznych ten warunek jest spełniony.

153
00:11:02,125 --> 00:11:05,125
Ale są zjawiska, dla których drobna zmiana stanu początkowego

154
00:11:05,125 --> 00:11:08,625
powoduje wielką zmianę końcowego stanu systemu”.

155
00:11:18,083 --> 00:11:23,041
Przykładowo: mała zmiana prędkości samochodu

156
00:11:23,041 --> 00:11:25,542
może spowodować wypadek.

157
00:11:34,041 --> 00:11:36,041
Ta wrażliwość stanu końcowego

158
00:11:36,041 --> 00:11:38,041
na zmiany stanu początkowego

159
00:11:38,041 --> 00:11:40,041
jest cechą chaosu.

160
00:11:40,875 --> 00:11:43,875
Są też sytuacje bardziej skomplikowane.

161
00:11:44,041 --> 00:11:46,041
Wyobraźmy sobie pole wektorowe

162
00:11:46,041 --> 00:11:48,041
rysowane nie na ziemi,

163
00:11:48,041 --> 00:11:50,041
a w przestrzeni.

205
00:11:50,041 --> 00:11:52,041
Na przykład to pole,

206
00:11:52,041 --> 00:11:56,041
którego przekroje właśnie widzimy.

208
00:11:56,041 --> 00:12:01,041
Tym razem ludziki nie chodzą, tylko latają.

210
00:12:01,417 --> 00:12:03,417
W każdej chwili ich prędkość

211
00:12:03,417 --> 00:12:06,417
wyznaczona jest przez pole wektorowe.

212
00:12:07,625 --> 00:12:12,917
Patrzcie, jak chaotyczny jest ich ruch!

214
00:12:15,999 --> 00:12:19,499
Wyobraźmy sobie ludzika lego - wróżbiarza,

215
00:12:19,499 --> 00:12:22,999
który miałby przewidywać ruch tych pojazdów.

217
00:12:22,999 --> 00:12:25,999
To niemożliwe!

218
00:12:26,959 --> 00:12:31,917
Kto wie, gdzie znajdą się za godzinę?

220
00:12:32,500 --> 00:12:34,999
Skoro tak trudno przewidzieć ruch ludzików lego,

221
00:12:34,999 --> 00:12:37,458
pomyśl, jak trudno przewidzieć los człowieka!