2016.03.26 06:21
jak Russel zdefiniował liczby naturalne, tak można zdefiniować informację
Podoba mi się, jak Russel zdefiniował w "Podstawach filozofii matematyki" liczby naturalne: że liczba naturalna to zbiór zbiorów o tej samej mocy. Normalnie jak przeczytałem to zdanie, to zrozumiałem, że to jest to, czego szukałem od lat. A potem przypomniałem sobie, że podobną definicję miałem na matematyce w ogólniaku: kierunek to zbiór linii wzajemnie równoległych. Ale wtedy byłem za młody i za mało doświadczony, żeby docenić piękno tej definicji. Podobnie można definiować inne trudne sprawy: zwrot to zbiór wektorów o tym samym wersorze, a informacja to zbiór komunikatów powodujących ten sam skutek.
komentarze:
2016.03.27 17:34 ŁZ
Wygląda na to, że zbiorem zbiorów o tej samej mocy można definiować uogólnienia liczb naturalnych - liczby kardynalne, porządkowe. Na przykład alef1 jest zbiorem zbiorów o mocy zbioru podzbiorów zbioru zbiorów zbiorów o tej samej mocy.
2016.03.27 19:40 Piotrek
Czekaj, ale zobacz, w tym, co mówisz, coś się nie zgadza. Jeśli zbiór zbiorów o mocy zbioru podzbiorów zbioru zbiorów zbiorów o tej samej mocy jest alefem1, a alef1 nie jest liczbą naturalną, to znaczy że istnieje taki zbiór zbiorów o tej samej mocy, który nie jest liczbą naturalną - więc zbiór zbiorów zbiorów o tej samej mocy nie jest zbiorem liczb naturalnych.
No to ja sam już nie wiem. Jaka jest moc zbioru zbiorów zbiorów o tej samej mocy?
2016.03.27 20:14 ŁZ
No właśnie o to mi chodzi, że zbiór zbiorów o tej samej mocy nie musi być liczbą naturalną, może być nieskończoną liczbą porządkową (skończone liczby porządkowe to naturalne), więc nie jest to definicja liczby naturalnej, tylko uogólnienia liczby naturalnej. Moc zbioru zbiorów zbiorów o tej samej mocy to alef0.
2016.03.27 20:43 Piotrek
Bardzo jeszcze niejasno i nieprecyzyjnie mam poukładane w głowie to, o czym tu mówimy, ale coś mi nie pasuje. Czy masz na myśli, że każdej liczbie porządkowej - a nie tylko każdej liczbie naturalnej - odpowiada jakiś zbiór zbiorów o tej samej mocy? Jeśli tak, to czy to nie jest w sprzeczności z paradoksem Burali-Fortiego (który mówi, że nie ma zbioru wszystkich liczb porządkowych)?
2016.03.28 00:37 ŁZ
Ja za to bardzo wyraźnie widzę, że to, co napisałem o alef0 i alef1 to głupoty.
2016.03.28 01:01 ŁZ
Reszta na razie wydaje mi się w porządku. Sprawdzę czy może być tak, że zbiór zbiorów o tej samej mocy to definicja liczby kardynalnej (uogólnienia liczby naturalnej).
2016.03.28 09:54 ŁZ
Po prostu, do definicji zbioru zbiorów o tej samej mocy pasuje mi na przykład alef0. Wychodzi mi, że liczba naturalna to zbiór zbiorów o tej samej skończonej mocy, a są jeszcze zbiory zbiorów o tej samej nieskończonej mocy.
2016.03.29 05:28 Piotrek
Wydaje mi się, że nie istnieje zbiór zbiorów zbiorów o tej samej mocy. Bo wszyscy mówią, że nie istnieje zbiór liczb kardynalnych. Dowodzą tego mówiąc, że nie istnieje zbiór wszystkich liczb kardynalnych, bo
gdyby istniał taki zbiór Z, to |Z| musiałaby być w nim największą liczbą kardynalną, ale |P(Z)| > |Z| na mocy twierdzenia Cantora. Hm, brzmi rozsądnie, choć nie do końca jeszcze czuję się przekonany, że "gdyby istniał taki zbiór Z, to |Z| musiałaby być w nim największą liczbą kardynalną".
2016.04.02 20:54 ŁZ
Hehe, tu:
http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/teoria_mnogosci/2011/03/15/O_kilku_zbiorach_ktorych_nie_ma/
pan wykazuje, że nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów jednoelementowych.
2016.04.22 11:38 ŁZ
Gdyby w tej definicji zamiast zbióru zbiorów o tej samej mocy była klasa zbiorów o tej samej mocy, to bym się nie czepiał. Wtedy liczba 1 to byłaby klasa zbiorów jednoelementowych i wszystko by grało.
2016.04.22 11:44 Piotrek
Tak, ale ja znam tylko aksjomatykę ZF (a i to słabo), a tam nie ma klas. Ja myślałem inaczej: żeby powiedzieć, że zbiór liczb naturalnych to jest każdy taki zbiór zbiorów skończonych o różnych mocach, że większego już być nie może. Wiesz, że jedynka to zbiór jednoelementowy (dowolny), dwójka to zbiór dwuelementowy (dowolny) itp.
Miałem wczoraj zajrzeć do "Podstaw..." Russella, jak on to w końcu napisał, ale mnie dzieci zagadały.
powrot na strone glowna
RSS