2014.05.05 07:40
chcę nazwać wszystkie liczby rzeczywiste
Fajnie, że każda liczba naturalna ma swoją nazwę (znaczy, zapis dziesiątkowy, reprezentację w postaci napisu złożonego ze znaków 0123456789). Zastanawiałem się ostatnio, czy podobnie jakoś dałoby się zrobić dla liczb rzeczywistych - żeby każdej nadać jakąś nazwę. Prosta odpowiedź oczywiście brzmi "nie", bo liczb rzeczywistych jest alef1, a wszystkich napisów tylko alef0, ale powiedzieć, że się nie da, to każdy głupi potrafi. A gdyby tak pisać napisy złożone z dowolnej przeliczalnej liczby słów, a każde słowo składałoby się z dowolnej przeliczalnej liczby znaków? Wtedy mielibyśmy do dyspozycji alef1 napisów (łatwo to udowodnić, bo zbiór takich napisów jest zbiorem potęgowym zbioru wszystkich słów dowolnej przeliczalnej długości). Takimi napisami dałoby się ponazywać liczby rzeczywiste. Ale jaki wymyślić system na nadawanie liczbom rzeczywistym tych nazw? Długo nie mogłem wymyślić, ale wczoraj na urodzinach T. jak rozmawiałem o tym z G., to on powiedział, że każda liczba rzeczywista jest podziałem zbioru liczb wymiernych na takie dwa podzbiory, że każdy element z pierwszego podzbioru jest mniejszy od każdego elementu z drugiego podzbioru (wiedziałem to przecież i przedtem, ale jakoś o tym nie myślałem). No i teraz prosto! Każdą liczbę wymierną da się zapisać napisem złożonym z przeliczalnej liczby znaków 0123456789. Wystarczy więc wymienić wszystkie liczby wymierne mniejsze od danej liczby rzeczywistej rozdzielając je spacjami i mamy nazwę danej liczby rzeczywistej. Na przykład liczba pi będzie miała nazwę "3 3.1 3.14 3.141 3.1415 3.14159" ... i tak dalej (nie podam tu pełnej nazwy, bo jest w niej alef0 słów, z których niektóre składają się z alef0 znaków). Co ciekawe, w takim napisie wiele słów jest zbędnych. Przykładowo, w tym zapisie liczby pi słowo "3" jest zbędne - przecież skoro powiemy, że pi jest większe od 3.1, to nie trzeba już mówić, że jest większe od 3. Chyba nawet nie da się wskazać słowa, które nie byłoby zbędne, bo każde słowo czyni zbędnymi te, które są mniejsze od niego, a dla każdego słowa jest jakieś od niego większe - a jednak mimo to nie mogę wyrzucić z tego napisu wszystkich słów, bo wtedy jednak stracę jednoznaczność. Hm, tu muszę sobie przemyśleć. Jak to jest? Każde mogę wyrzucić, ale wszystkich nie mogę wyrzucić? A, no chyba tak. Bo o każdym słowie można powiedzieć "można je wyrzucić, ale tylko wtedy, jeśli zostanie choć jedno słowo większe od niego". Dziwne to jakieś.
komentarze:
2014.05.05 07:42 Piotrek
Coś się popsuło w tym wpisie. Jak po południu wrócę do domu, to naprawię.
2014.05.05 11:26 Piotrek
Naprawiłem. A swoją drogą to te liczby wymierne można by zapisywać nie w postaci "częśćcałkowita.częśćdziesiętna" ale w postaci "licznik/mianownik". I wtedy każde słowo miałoby znaków ilość nie tylko przeliczalną, ale i skończoną. I tak się teraz zastanawiam, czy jak mam zdanie składające się z nieskończonej przeliczalnej liczby słów, a każde słowo ma długość skończoną (choć dowolnie długą - to znaczy że dla każdej liczby naturalnej znajdzie się słowo mające dokładnie tyle liter), to czy ten napis ma długość przeliczalną czy nieprzeliczalną?
2014.05.05 15:41 jfedor
Czym twój twór jest lepszy niż normalne rozwinięcie dziesiętne?
2014.05.05 15:44 Piotrek
Byłem pewien, że są liczby rzeczywiste, które... e... nie mają rozwinięcia dziesiętnego? Albo mają nieunikatowe? Słuchaj, musi tak być, przecież rozwinięć dziesiętnych jest przeliczalna ilość.
2014.05.05 16:38 Piotrek
Nie, masz rację - napisów jest nieprzeliczalnie wiele! Dowodzi tego dowód diagonalny Cantora!
2016.07.22 09:58 Piotrek
To ile jest wszystkich napisów (również o nieskończonej ale przeliczalnej długości) - czy alef1? To by się zgadzało: mówią ludzie, że nie da się ponazywać liczb kardynalnych ani ordynalnych.
powrot na strone glowna
RSS